STREAMORA

Matematyka · Matura podstawowa

Ciąg arytmetyczny — wyraz, różnica i suma

Jak liczyć wyrazy i sumy ciągu arytmetycznego oraz odtworzyć różnicę z dwóch wyrazów? Rozwiązania trzech autorskich zadań.

Autor: Zespół Streamora · Aktualizacja:

Od czego zacząć

W ciągu arytmetycznym przejście do następnego wyrazu polega na dodaniu stałej różnicy. Między wyrazem pierwszym i dziesiątym wykonujemy dziewięć takich przejść.

Zapisz indeksy przed podstawieniem do wzoru. To pomaga uniknąć najczęstszego błędu: użycia n zamiast n − 1.

Najważniejsze zależności

  • Wyraz ogólny: an=a1+(n−1)ra_n=a_1+(n-1)r.
  • Suma pierwszych n wyrazów: Sn=n(a1+an)/2S_n=n(a_1+a_n)/2.
  • Między wyrazami o indeksach k i m różnica wartości wynosi (m−k)r(m-k)r.

PRZYKŁAD 1

Przykład 1

W ciągu arytmetycznym a1=5a_1=5 i r=3r=3. Oblicz a10a_{10}.

  1. Policz przejścia

    Od indeksu 1 do indeksu 10 jest dziewięć przejść.

    10−1=910-1=9

  2. Użyj wzoru

    Do pierwszego wyrazu dodajemy dziewięć różnic.

    a10=5+9⋅3a_{10}=5+9\cdot3

  3. Oblicz wartość

    Przyrost wynosi 27.

    a10=32a_{10}=32
Odpowiedź

3232

Dla n = 1 wzór musi zwrócić sam pierwszy wyraz, dlatego zawiera n − 1.

PRZYKŁAD 2

Przykład 2

Oblicz sumę pierwszych 20 wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym a1=2a_1=2 i r=4r=4.

  1. Wyznacz ostatni potrzebny wyraz

    Dwudziesty wyraz jest oddalony od pierwszego o 19 różnic.

    a20=2+19⋅4=78a_{20}=2+19\cdot4=78

  2. Podstaw do sumy

    Wykorzystujemy pierwszy i dwudziesty wyraz.

    S20=20(2+78)2S_{20}=\frac{20(2+78)}2

  3. Policz i skontroluj średnią

    Średnia skrajnych wyrazów wynosi 40. Dwadzieścia takich składników daje 800.

    S20=20⋅40=800S_{20}=20\cdot40=800
Odpowiedź

800800

Suma nie jest równa 20 razy ostatni wyraz. Wyrazy mają różne wartości.

TWOJA PRÓBA

Spróbuj samodzielnie

W ciągu arytmetycznym a3=11a_3=11 i a7=27a_7=27. Znajdź różnicę r i pierwszy wyraz.

Zobacz rozwiązanie i sprawdź swoją próbę

  1. Użyj odległości indeksów

    Między indeksami 3 i 7 są cztery przejścia.

    4r=27−11=16  ⟹  r=44r=27-11=16\implies r=4

  2. Cofnij dwa przejścia

    Trzeci wyraz powstał przez dwukrotne dodanie różnicy do pierwszego.

    a1=11−2⋅4=3a_1=11-2\cdot4=3
Odpowiedź

r=4,a1=3r=4,\quad a_1=3

Nie dzielimy różnicy wartości przez 7 ani przez 3, tylko przez różnicę indeksów.

Typowe błędy

  • Dodawanie n różnic zamiast n − 1.
  • Traktowanie różnicy dwóch dowolnych wyrazów jak różnicy kolejnych wyrazów.
  • Podanie ostatniego wyrazu zamiast sumy.

Zapamiętaj

Zawsze połącz różnicę wartości z liczbą przejść między indeksami.

Pytania i odpowiedzi

Czy różnica ciągu arytmetycznego może być ujemna?

Tak. Wtedy kolejne wyrazy maleją. Różnica r = 0 oznacza ciąg stały.

Czym różni się aₙ od Sₙ?

aₙ to pojedynczy n-ty wyraz. Sₙ to suma wyrazów od pierwszego do n-tego.

O materiale i źródłach

To autorskie przykłady i objaśnienia Streamory. Nie są zadaniami z konkretnego arkusza ani oficjalnym kluczem CKE.

Aktualny zakres i warunki egzaminu sprawdzaj w informatorach CKE. Streamora jest niezależną platformą do nauki.

Zauważoną niejasność możesz zgłosić na kontakt@streamora.pl, podając tytuł poradnika i numer przykładu.

Powiązane tematy

Ciąg geometryczny — iloraz, wyrazy i suma

Wyrazy i suma ciągu geometrycznego, wyznaczanie dodatniego ilorazu oraz różnica między dodawaniem a mnożeniem kolejnych wartości.

Czytaj dalej →

Funkcja liniowa — wzór, miejsce zerowe i znak

Wyznaczanie wzoru prostej z dwóch punktów, miejsca zerowego i przedziału dodatnich wartości. Zadania z objaśnieniami i kontrolą.

Czytaj dalej →