STREAMORA

Matematyka · Matura podstawowa

Ciąg geometryczny — iloraz, wyrazy i suma

Wyrazy i suma ciągu geometrycznego, wyznaczanie dodatniego ilorazu oraz różnica między dodawaniem a mnożeniem kolejnych wartości.

Autor: Zespół Streamora · Aktualizacja:

Od czego zacząć

W ciągu geometrycznym kolejne wyrazy powstają przez mnożenie przez stały iloraz q. To inna zależność niż stała różnica w ciągu arytmetycznym.

Znak ilorazu ma znaczenie. Gdy z równania wychodzi kwadrat ilorazu, dodatniość q trzeba mieć w danych albo rozpatrzyć oba znaki.

Najważniejsze zależności

  • Wyraz ogólny: an=a1qn−1a_n=a_1q^{n-1}.
  • Dla q≠1q\ne1: Sn=a1(qn−1)/(q−1)S_n=a_1(q^n-1)/(q-1).
  • Dla q=1q=1 wszystkie wyrazy są równe pierwszemu i Sn=na1S_n=na_1.

PRZYKŁAD 1

Przykład 1

W ciągu geometrycznym a1=3a_1=3 i q=2q=2. Oblicz a6a_6.

  1. Policz mnożenia

    Od pierwszego do szóstego wyrazu mnożymy pięć razy przez 2.

    a6=3⋅26−1a_6=3\cdot2^{6-1}

  2. Policz potęgę

    Dwa do piątej potęgi to 32.

    25=322^5=32

  3. Pomnóż przez pierwszy wyraz

    Otrzymujemy szósty wyraz, a nie sumę sześciu wyrazów.

    a6=3⋅32=96a_6=3\cdot32=96
Odpowiedź

9696

Wykładnik wynosi 5, bo pierwszy wyraz nie wymaga jeszcze mnożenia przez q.

PRZYKŁAD 2

Przykład 2

Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o a1=2a_1=2 i q=3q=3.

  1. Wybierz wzór na sumę

    Iloraz jest różny od 1, więc można użyć wzoru z mianownikiem q − 1.

    S5=2⋅35−13−1S_5=2\cdot\frac{3^5-1}{3-1}

  2. Podstaw potęgę

    Trzy do piątej potęgi jest równe 243.

    S5=2⋅2422=242S_5=2\cdot\frac{242}{2}=242

  3. Sprawdź krótkim dodawaniem

    Przy pięciu wyrazach można łatwo wykonać niezależną kontrolę.

    2+6+18+54+162=2422+6+18+54+162=242
Odpowiedź

242242

W sumie występuje q do potęgi n, chociaż we wzorze na n-ty wyraz występuje n − 1.

TWOJA PRÓBA

Spróbuj samodzielnie

W ciągu geometrycznym a2=6a_2=6, a4=54a_4=54 i q>0q>0. Wyznacz q oraz a1a_1.

Zobacz rozwiązanie i sprawdź swoją próbę

  1. Porównaj wyrazy

    Od drugiego do czwartego wyrazu są dwa mnożenia.

    q2=546=9q^2=\frac{54}{6}=9

  2. Użyj warunku znaku

    Dodatni iloraz jest równy 3. Pierwszy wyraz otrzymamy przez podzielenie drugiego przez q.

    q=3,a1=6:3=2q=3,\qquad a_1=6:3=2
Odpowiedź

q=3,a1=2q=3,\quad a_1=2

Bez warunku q > 0 należałoby uwzględnić także q = −3 i odpowiedni pierwszy wyraz.

Typowe błędy

  • Użycie stałej różnicy zamiast stałego ilorazu.
  • Pominięcie drugiego znaku przy równaniu q do kwadratu.
  • Zamiana wykładników we wzorach na wyraz i sumę.

Zapamiętaj

Najpierw ustal, czy zadanie pyta o wyraz, sumę czy iloraz — dopiero potem wybierz wzór.

Pytania i odpowiedzi

Co zrobić, gdy q = 1?

Każdy wyraz jest równy a₁, więc suma n wyrazów wynosi n razy a₁. Nie dziel przez q − 1.

Czy q może być ujemne?

Tak. Znaki niezerowych wyrazów wtedy zmieniają się na przemian.

O materiale i źródłach

To autorskie przykłady i objaśnienia Streamory. Nie są zadaniami z konkretnego arkusza ani oficjalnym kluczem CKE.

Aktualny zakres i warunki egzaminu sprawdzaj w informatorach CKE. Streamora jest niezależną platformą do nauki.

Zauważoną niejasność możesz zgłosić na kontakt@streamora.pl, podając tytuł poradnika i numer przykładu.

Powiązane tematy

Ciąg arytmetyczny — wyraz, różnica i suma

Jak liczyć wyrazy i sumy ciągu arytmetycznego oraz odtworzyć różnicę z dwóch wyrazów? Rozwiązania trzech autorskich zadań.

Czytaj dalej →

Procenty — obniżki, podwyżki i cena początkowa

Jak obliczać procent ceny, kolejne zmiany procentowe i wartość przed obniżką? Rozwiązane zadania oraz kontrola podstawy procentowania.

Czytaj dalej →