STREAMORA

Matematyka · Matura podstawowa

Funkcja liniowa — wzór, miejsce zerowe i znak

Wyznaczanie wzoru prostej z dwóch punktów, miejsca zerowego i przedziału dodatnich wartości. Zadania z objaśnieniami i kontrolą.

Autor: Zespół Streamora · Aktualizacja:

Od czego zacząć

We wzorze f(x) = ax + b współczynnik a opisuje zmianę wartości funkcji przy wzroście argumentu o 1. Wyraz b wskazuje przecięcie z osią pionową.

Nie każda prosta jest wykresem funkcji liniowej y = ax + b: prosta pionowa ma inny opis. W zadaniach poniżej współrzędne x dwóch punktów są różne.

Najważniejsze zależności

  • Dla dwóch punktów o różnych argumentach a=(y2−y1)/(x2−x1)a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1).
  • Po obliczeniu a podstaw współrzędne jednego punktu do y=ax+by=ax+b, aby znaleźć b.
  • Miejsce zerowe otrzymujesz z równania f(x)=0f(x)=0; dodatni znak funkcji z nierówności f(x)>0f(x)>0.

PRZYKŁAD 1

Przykład 1

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez A(1, 3) i B(3, 7).

  1. Oblicz nachylenie

    Wzrost wartości wynosi 4, a wzrost argumentu 2.

    a=7−33−1=2a=\frac{7-3}{3-1}=2

  2. Znajdź wyraz wolny

    Podstawiamy punkt A.

    3=2⋅1+b  ⟹  b=13=2\cdot1+b\implies b=1

  3. Sprawdź oba punkty

    Dla x = 1 otrzymujemy 3, a dla x = 3 otrzymujemy 7.

    f(x)=2x+1f(x)=2x+1
Odpowiedź

f(x)=2x+1f(x)=2x+1

Samo nachylenie 2 nie wyznacza jeszcze funkcji; potrzebny jest także wyraz wolny.

PRZYKŁAD 2

Przykład 2

Dla f(x)=−3x+12f(x)=-3x+12 wyznacz miejsce zerowe i argumenty, dla których funkcja jest dodatnia.

  1. Znajdź zero

    Rozwiązujemy równanie z prawą stroną równą zero.

    −3x+12=0  ⟹  x=4-3x+12=0\implies x=4

  2. Rozwiąż nierówność

    Po dzieleniu przez −3 odwracamy znak.

    −3x+12>0  ⟺  x<4-3x+12>0\iff x<4

  3. Sprawdź stronę granicy

    Dla x = 0 funkcja ma wartość 12, więc jest dodatnia po lewej stronie 4.

    f(0)=12>0f(0)=12>0
Odpowiedź

x0=4,f(x)>0 dla x<4x_0=4,\qquad f(x)>0\text{ dla }x<4

W punkcie x = 4 funkcja jest równa zero, więc ten punkt nie należy do przedziału dodatnich wartości.

TWOJA PRÓBA

Spróbuj samodzielnie

Oblicz f(5)f(5), jeśli f(x)=−2x+6f(x)=-2x+6.

Zobacz rozwiązanie i sprawdź swoją próbę

  1. Zastąp argument liczbą 5

    Najpierw wykonaj mnożenie, potem dodawanie.

    f(5)=−2⋅5+6=−4f(5)=-2\cdot5+6=-4
Odpowiedź

−4-4

Zapis f(5) oznacza wartość funkcji dla argumentu 5.

Typowe błędy

  • Zamiana różnic w liczniku bez zmiany ich kolejności w mianowniku.
  • Mylenie argumentu x z wartością f(x).
  • Włączanie miejsca zerowego do zbioru, w którym funkcja jest ściśle dodatnia.

Zapamiętaj

Nachylenie, wyraz wolny i miejsce zerowe opisują różne informacje o tej samej prostej.

Pytania i odpowiedzi

Czy wyraz wolny b jest miejscem zerowym?

Nie. b jest wartością funkcji dla x = 0. Miejsce zerowe, gdy a jest niezerowe, to −b/a.

Kiedy funkcja liniowa jest malejąca?

Gdy jej współczynnik kierunkowy a jest ujemny.

O materiale i źródłach

To autorskie przykłady i objaśnienia Streamory. Nie są zadaniami z konkretnego arkusza ani oficjalnym kluczem CKE.

Aktualny zakres i warunki egzaminu sprawdzaj w informatorach CKE. Streamora jest niezależną platformą do nauki.

Zauważoną niejasność możesz zgłosić na kontakt@streamora.pl, podając tytuł poradnika i numer przykładu.

Powiązane tematy

Równania i nierówności — jak przekształcać bez błędów

Równanie z ułamkami, nierówność z ujemnym współczynnikiem i iloczyn równy zeru. Przykłady z kontrolą otrzymanego rozwiązania.

Czytaj dalej →

Funkcja kwadratowa — miejsca zerowe i wierzchołek

Rozkład trójmianu na czynniki, postać kanoniczna i nierówność kwadratowa. Rozwiązania z interpretacją wykresu paraboli.

Czytaj dalej →