STREAMORAMatematyka · Matura podstawowa
Równania i nierówności — jak przekształcać bez błędów
Równanie z ułamkami, nierówność z ujemnym współczynnikiem i iloczyn równy zeru. Przykłady z kontrolą otrzymanego rozwiązania.
Od czego zacząć
Dobre przekształcenie zachowuje ten sam zbiór rozwiązań. W równaniach pilnuj wykonywania operacji na obu stronach. W nierównościach dodatkowo kontroluj kierunek znaku.
Podane mianowniki są stałymi niezerowymi. Gdy w mianowniku pojawia się zmienna, najpierw trzeba ustalić dziedzinę i ostrożnie dobierać przekształcenia.
Najważniejsze zależności
- Mnożenie obu stron równania przez tę samą niezerową liczbę zachowuje rozwiązania.
- Dzielenie lub mnożenie nierówności przez liczbę ujemną odwraca jej znak.
- Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.
PRZYKŁAD 1
Przykład 1
Rozwiąż .
Usuń mianowniki
Obie strony mnożymy przez 4.
Uporządkuj równanie
Rozwijamy nawias, odejmujemy 2x i dodajemy 2.
Podstaw do początku
Obie strony początkowego równania mają wartość 10.
Dwójka z prawej strony mnoży cały nawias x + 6.
PRZYKŁAD 2
Przykład 2
Rozwiąż .
Rozwiń nawias
Minus dwa mnoży oba składniki.
Przenieś stałą
Odejmujemy 2 po obu stronach.
Odwróć znak przy dzieleniu
Dzielimy przez liczbę ujemną −6. Granica −1 należy do rozwiązania.
Sprawdzenie: x = −1 daje równość, a x = −2 spełnia nierówność.
TWOJA PRÓBA
Spróbuj samodzielnie
Rozwiąż .
Zobacz rozwiązanie i sprawdź swoją próbę
Przyrównaj czynniki do zera
Wystarczy, że jeden czynnik jest równy zero.
Słowo „lub” jest istotne: szukamy obu rozwiązań.
Typowe błędy
- Rozmnożenie nawiasu tylko przez pierwszy składnik.
- Zachowanie starego znaku nierówności po dzieleniu przez liczbę ujemną.
- Dzielenie przez wyrażenie ze zmienną bez sprawdzenia, czy nie jest zerem.
Zapamiętaj
Po przekształceniu wróć do początkowego zapisu i sprawdź przynajmniej otrzymany punkt lub granicę.
Pytania i odpowiedzi
Kiedy odwracamy znak nierówności?
Przy mnożeniu albo dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną. Samo dodanie lub odjęcie tej samej liczby nie odwraca znaku.
Czy można skracać równanie przez x?
Tylko po uwzględnieniu przypadku x = 0. Inaczej można zgubić rozwiązanie.
O materiale i źródłach
To autorskie przykłady i objaśnienia Streamory. Nie są zadaniami z konkretnego arkusza ani oficjalnym kluczem CKE.
Aktualny zakres i warunki egzaminu sprawdzaj w informatorach CKE. Streamora jest niezależną platformą do nauki.
Zauważoną niejasność możesz zgłosić na kontakt@streamora.pl, podając tytuł poradnika i numer przykładu.