STREAMORA

Matematyka · Matura podstawowa

Funkcja kwadratowa — miejsca zerowe i wierzchołek

Rozkład trójmianu na czynniki, postać kanoniczna i nierówność kwadratowa. Rozwiązania z interpretacją wykresu paraboli.

Autor: Zespół Streamora · Aktualizacja:

Od czego zacząć

Funkcję kwadratową można opisywać różnymi postaciami. Postać iloczynowa ułatwia odczytanie miejsc zerowych, a kanoniczna położenia wierzchołka.

Przed zastosowaniem wzoru sprawdź, czy współczynnik przy kwadracie jest niezerowy. W przykładach poniżej wynosi 1.

Najważniejsze zależności

  • W postaci a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) miejsca zerowe to x1x_1 i x2x_2.
  • W postaci a(x−p)2+qa(x-p)^2+q wierzchołek ma współrzędne (p,q)(p,q).
  • Dla a > 0 ramiona są skierowane w górę. Przy dwóch różnych miejscach zerowych funkcja jest ujemna pomiędzy nimi.

PRZYKŁAD 1

Przykład 1

Rozwiąż równanie x2−5x+6=0x^2-5x+6=0.

  1. Dobierz czynniki

    Szukamy dwóch liczb, których suma jest równa −5, a iloczyn 6.

    −2+(−3)=−5,(−2)(−3)=6-2+(-3)=-5,\qquad(-2)(-3)=6

  2. Zapisz iloczyn

    Rozkład można skontrolować przez wymnożenie nawiasów.

    x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

  3. Odczytaj rozwiązania

    Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem.

    x=2lubx=3x=2\quad\text{lub}\quad x=3
Odpowiedź

x∈{2,3}x\in\{2,3\}

Liczby −2 i −3 są stałymi w nawiasach. Miejsca zerowe wynoszą 2 i 3.

PRZYKŁAD 2

Przykład 2

Wyznacz wierzchołek i najmniejszą wartość funkcji f(x)=x2−4x+1f(x)=x^2-4x+1.

  1. Uzupełnij do kwadratu

    Kwadrat x − 2 ma wyraz stały 4, więc odejmujemy nadmiarowe 3.

    x2−4x+1=(x−2)2−3x^2-4x+1=(x-2)^2-3

  2. Odczytaj wierzchołek

    Kwadrat jest najmniejszy dla x = 2.

    W=(2,−3)W=(2,-3)

  3. Uzasadnij minimum

    Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

    (x−2)2≥0  ⟹  f(x)≥−3(x-2)^2\ge0\implies f(x)\ge-3
Odpowiedź

W=(2,−3),min⁡f=−3W=(2,-3),\qquad\min f=-3

Minimalna wartość to współrzędna pionowa wierzchołka, a nie argument 2.

TWOJA PRÓBA

Spróbuj samodzielnie

Rozwiąż nierówność x2−9≤0x^2-9\le0.

Zobacz rozwiązanie i sprawdź swoją próbę

  1. Znajdź granice i znak

    Miejsca zerowe to −3 i 3. Parabola jest nie wyżej niż oś między nimi, z końcami włącznie.

    (x−3)(x+3)≤0(x-3)(x+3)\le0
Odpowiedź

x∈[−3,3]x\in[-3,3]

Nierówność dopuszcza równość, więc oba miejsca zerowe należą do rozwiązania.

Typowe błędy

  • Zmiana znaku p przy odczytywaniu wierzchołka z nawiasu.
  • Pomylenie najmniejszej wartości z argumentem, dla którego jest osiągana.
  • Wskazanie tylko miejsc zerowych jako odpowiedzi na nierówność.

Zapamiętaj

Dobieraj postać funkcji do pytania: iloczynowa do zer i znaku, kanoniczna do wierzchołka oraz ekstremum.

Pytania i odpowiedzi

Czy każda funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe?

Nie. Może mieć dwa, jedno albo żadnego rzeczywistego miejsca zerowego.

Czy wierzchołek zawsze wyznacza minimum?

Minimum występuje przy ramionach skierowanych w górę. Gdy a jest ujemne, wierzchołek wyznacza maksimum.

O materiale i źródłach

To autorskie przykłady i objaśnienia Streamory. Nie są zadaniami z konkretnego arkusza ani oficjalnym kluczem CKE.

Aktualny zakres i warunki egzaminu sprawdzaj w informatorach CKE. Streamora jest niezależną platformą do nauki.

Zauważoną niejasność możesz zgłosić na kontakt@streamora.pl, podając tytuł poradnika i numer przykładu.

Powiązane tematy

Równania i nierówności — jak przekształcać bez błędów

Równanie z ułamkami, nierówność z ujemnym współczynnikiem i iloczyn równy zeru. Przykłady z kontrolą otrzymanego rozwiązania.

Czytaj dalej →

Funkcja liniowa — wzór, miejsce zerowe i znak

Wyznaczanie wzoru prostej z dwóch punktów, miejsca zerowego i przedziału dodatnich wartości. Zadania z objaśnieniami i kontrolą.

Czytaj dalej →