STREAMORA

Matematyka · Matura podstawowa

Logarytmy na maturze — zadania z rozwiązaniami

Definicja logarytmu, dodawanie logarytmów i równanie z dziedziną. Dwa rozwiązane przykłady, typowe błędy i zadanie do samodzielnej próby.

Autor: Zespół Streamora · Aktualizacja:

Od czego zacząć

Logarytm odpowiada na pytanie, do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać wskazaną liczbę. Zanim użyjesz własności, sprawdź podstawę i argument.

Poniższe przykłady są autorskimi ćwiczeniami Streamory. Najpierw spróbuj samodzielnie, a rozwiązanie wykorzystaj do sprawdzenia metody.

Najważniejsze zależności

  • Dla a>0a>0, a≠1a\ne1 i b>0b>0: log⁡ab=c\log_a b=c oznacza ac=ba^c=b.
  • Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu: log⁡au+log⁡av=log⁡a(uv)\log_a u+\log_a v=\log_a(uv), gdy u,v>0u,v>0.
  • W równaniu argument logarytmu musi być dodatni. Sam wynik obliczeń nie zastępuje sprawdzenia dziedziny.

PRZYKŁAD 1

Przykład 1

Oblicz log⁡28+log⁡24\log_2 8+\log_2 4.

  1. Rozpoznaj potęgi

    Liczby 8 i 4 zapisujemy jako potęgi podstawy 2.

    8=23,4=228=2^3,\qquad4=2^2

  2. Odczytaj oba logarytmy

    Wartościami logarytmów są odpowiednie wykładniki.

    log⁡28=3,log⁡24=2\log_2 8=3,\qquad\log_2 4=2

  3. Dodaj i skontroluj

    Suma wynosi 5. Ten sam wynik otrzymasz z logarytmu iloczynu, ponieważ 8 · 4 = 32 = 2 do potęgi piątej.

    3+2=53+2=5
Odpowiedź

55

Dodajemy wartości logarytmów. Nie dodajemy ich argumentów.

PRZYKŁAD 2

Przykład 2

Rozwiąż równanie log⁡3(x−1)=2\log_3(x-1)=2.

  1. Ustal dziedzinę

    Argument x − 1 ma być dodatni.

    x−1>0  ⟺  x>1x-1>0\iff x>1

  2. Wróć do definicji

    Podstawę 3 podnosimy do potęgi 2.

    x−1=32=9x-1=3^2=9

  3. Wyznacz i sprawdź

    Dodajemy 1. Otrzymana liczba należy do dziedziny; po podstawieniu argument jest równy 9.

    x=10,log⁡39=2x=10,\qquad\log_3 9=2
Odpowiedź

x=10x=10

Liczba 9 jest wartością argumentu x − 1, a nie szukanego x.

TWOJA PRÓBA

Spróbuj samodzielnie

Oblicz log⁡5125\log_5\frac{1}{25}.

Zobacz rozwiązanie i sprawdź swoją próbę

  1. Zapisz ułamek jako potęgę

    Odwrotność kwadratu podstawy ma wykładnik −2.

    125=5−2\frac1{25}=5^{-2}
Odpowiedź

−2-2

Ujemny wynik logarytmu jest dozwolony. Dodatni musi być argument, tutaj 1/25.

Typowe błędy

  • Łączenie logarytmów o różnych podstawach bez uzasadnienia.
  • Zapis logarytmu sumy zamiast logarytmu iloczynu.
  • Pominięcie warunku dodatniego argumentu.

Zapamiętaj

Najpierw dziedzina, potem definicja lub własność, a na końcu podstawienie wyniku.

Pytania i odpowiedzi

Czy logarytm może być ujemny?

Tak. Na przykład logarytm przy podstawie 5 z 1/25 wynosi −2, ponieważ 5 do potęgi −2 daje 1/25.

Czy można policzyć logarytm z zera?

W logarytmie rzeczywistym argument musi być dodatni. Zero i liczby ujemne są wykluczone.

O materiale i źródłach

To autorskie przykłady i objaśnienia Streamory. Nie są zadaniami z konkretnego arkusza ani oficjalnym kluczem CKE.

Aktualny zakres i warunki egzaminu sprawdzaj w informatorach CKE. Streamora jest niezależną platformą do nauki.

Zauważoną niejasność możesz zgłosić na kontakt@streamora.pl, podając tytuł poradnika i numer przykładu.

Powiązane tematy

Potęgi i pierwiastki — przykłady krok po kroku

Potęga o wykładniku ułamkowym, upraszczanie pierwiastków i wykładnik ujemny. Sprawdź metodę na trzech autorskich ćwiczeniach.

Czytaj dalej →

Równania i nierówności — jak przekształcać bez błędów

Równanie z ułamkami, nierówność z ujemnym współczynnikiem i iloczyn równy zeru. Przykłady z kontrolą otrzymanego rozwiązania.

Czytaj dalej →