STREAMORA

Matematyka · Matura podstawowa

Potęgi i pierwiastki — przykłady krok po kroku

Potęga o wykładniku ułamkowym, upraszczanie pierwiastków i wykładnik ujemny. Sprawdź metodę na trzech autorskich ćwiczeniach.

Autor: Zespół Streamora · Aktualizacja:

Od czego zacząć

W zadaniach z potęgami pomagają dwa nawyki: zachowanie nawiasów oraz sprowadzanie liczb do wspólnej podstawy. Przy pierwiastkach szukaj czynnika będącego kwadratem.

Tutaj używamy dodatnich podstaw. Dzięki temu potęgi o wykładnikach ułamkowych nie wymagają rozstrzygania dodatkowych przypadków.

Najważniejsze zależności

  • Dla dodatniego a potęga am/na^{m/n} oznacza amn\sqrt[n]{a^m}.
  • Dla a≠0a\ne0: a−n=1/ana^{-n}=1/a^n.
  • Można dodawać współczynniki przy takich samych pierwiastkach. Ogólnie u+v\sqrt{u+v} nie jest równe u+v\sqrt u+\sqrt v.

PRZYKŁAD 1

Przykład 1

Oblicz 272/327^{2/3}.

  1. Odczytaj mianownik wykładnika

    Mianownik 3 wskazuje pierwiastek sześcienny.

    273=3\sqrt[3]{27}=3

  2. Użyj licznika

    Otrzymaną liczbę podnosimy do kwadratu.

    272/3=(273)2=3227^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^2=3^2

  3. Policz wynik

    Kwadrat liczby 3 jest równy 9.

    32=93^2=9
Odpowiedź

99

Liczby 27 nie mnożymy przez 2/3. Wykładnik opisuje potęgowanie.

PRZYKŁAD 2

Przykład 2

Uprość 72−8\sqrt{72}-\sqrt8.

  1. Wydziel kwadraty

    W obu liczbach znajduje się czynnik będący pełnym kwadratem.

    72=36⋅2,8=4⋅272=36\cdot2,\qquad8=4\cdot2

  2. Wyłącz czynniki

    Pierwiastki z 36 i 4 są równe odpowiednio 6 i 2.

    72=62,8=22\sqrt{72}=6\sqrt2,\qquad\sqrt8=2\sqrt2

  3. Odejmij współczynniki

    Po obu stronach mamy ten sam pierwiastek z 2.

    62−22=426\sqrt2-2\sqrt2=4\sqrt2
Odpowiedź

424\sqrt2

Odejmujemy współczynniki 6 i 2. Pierwiastek z 2 pozostaje.

TWOJA PRÓBA

Spróbuj samodzielnie

Oblicz 2−3⋅252\frac{2^{-3}\cdot2^5}{2}.

Zobacz rozwiązanie i sprawdź swoją próbę

  1. Połącz wykładniki tej samej podstawy

    Mnożenie dodaje wykładniki, a dzielenie przez 2 odejmuje 1.

    2−3+5−1=212^{-3+5-1}=2^1
Odpowiedź

22

Mianownik jest potęgą 2 do pierwszej, więc również trzeba go uwzględnić.

Typowe błędy

  • Traktowanie ujemnego wykładnika jak znaku minus przed liczbą.
  • Rozdzielanie pierwiastka sumy na sumę pierwiastków.
  • Gubienie nawiasów, zwłaszcza przy ujemnych liczbach.

Zapamiętaj

Wykładnik ujemny tworzy odwrotność; pierwiastki upraszczaj przez wyłączanie pełnych potęg.

Pytania i odpowiedzi

Czy 2 do potęgi −3 to −8?

Nie. Jest to odwrotność 2 do potęgi 3, czyli 1/8.

Kiedy można zredukować pierwiastki?

Gdy po uproszczeniu mają ten sam stopień i ten sam argument. Wtedy dodajesz lub odejmujesz ich współczynniki.

O materiale i źródłach

To autorskie przykłady i objaśnienia Streamory. Nie są zadaniami z konkretnego arkusza ani oficjalnym kluczem CKE.

Aktualny zakres i warunki egzaminu sprawdzaj w informatorach CKE. Streamora jest niezależną platformą do nauki.

Zauważoną niejasność możesz zgłosić na kontakt@streamora.pl, podając tytuł poradnika i numer przykładu.

Powiązane tematy

Logarytmy na maturze — zadania z rozwiązaniami

Definicja logarytmu, dodawanie logarytmów i równanie z dziedziną. Dwa rozwiązane przykłady, typowe błędy i zadanie do samodzielnej próby.

Czytaj dalej →

Stereometria — sześcian, stożek i przekątna bryły

Przekątna sześcianu, pole i objętość stożka oraz przekątna prostopadłościanu. Zadania z rysunkiem wyobrażonym i kontrolą jednostek.

Czytaj dalej →