Matematyka · Matura podstawowa

Stereometria — sześcian, stożek i przekątna bryły

Przekątna sześcianu, pole i objętość stożka oraz przekątna prostopadłościanu. Zadania z rysunkiem wyobrażonym i kontrolą jednostek.

Autor: Zespół Streamora · Aktualizacja: 16 października 2026

Od czego zacząć

Zacznij od nazwania szukanej wielkości: długości, pola powierzchni albo objętości. Przekątna ściany i przekątna całej bryły to różne odcinki.

Przy stożku prostym promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny. Dzięki temu możesz wyznaczyć brakującą długość przed obliczeniem pola.

Najważniejsze zależności

Przekątna sześcianu: $d=a\sqrt3$ , a jego pole całkowite: $P_c=6a^2$ .
Dla stożka prostego $l^2=r^2+h^2$ , $P_c=\pi r^2+\pi rl$ oraz $V=\pi r^2h/3$ .
Przekątna prostopadłościanu o krawędziach a, b, c: $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ .

PRZYKŁAD 1

Przykład 1

Przekątna sześcianu ma długość $6\sqrt3$ . Oblicz jego pole powierzchni całkowitej.

Rozpoznaj przekątną bryły
Przekątna sześcianu jest równa a razy pierwiastek z 3.
$a\sqrt3=6\sqrt3\implies a=6$
Policz pole ściany
Ściana jest kwadratem o boku 6.
$a^2=36$
Uwzględnij sześć ścian
Wszystkie ściany sześcianu mają takie samo pole.
$P_c=6\cdot36=216$

Odpowiedź

$216$

Pytanie dotyczy pola, więc nie obliczamy a do trzeciej potęgi. Przekątna ściany miałaby mnożnik pierwiastek z 2.

PRZYKŁAD 2

Przykład 2

Stożek prosty ma promień podstawy 3 cm i wysokość 4 cm. Oblicz pole całkowite oraz objętość.

Wyznacz tworzącą
Promień i wysokość są przyprostokątnymi.
$l=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ cm}$
Dodaj pole podstawy i boczne
Pole boczne wymaga tworzącej, nie wysokości.
$P_c=\pi\cdot3^2+\pi\cdot3\cdot5=24\pi\text{ cm}^2$
Oblicz objętość z wysokości
Do objętości wstawiamy wysokość 4 cm.
$V=\frac13\pi\cdot3^2\cdot4=12\pi\text{ cm}^3$

Odpowiedź

$P_c=24\pi\text{ cm}^2,\quad V=12\pi\text{ cm}^3$

Tworząca 5 cm występuje we wzorze na pole boczne; wysokość 4 cm występuje we wzorze na objętość.

TWOJA PRÓBA

Spróbuj samodzielnie

Krawędzie prostopadłościanu mają długości 3, 4 i 12. Oblicz długość przekątnej bryły.

Zobacz rozwiązanie i sprawdź swoją próbę

Dodaj kwadraty trzech krawędzi
Można też najpierw obliczyć przekątną podstawy równą 5, a potem użyć Pitagorasa z wysokością 12.
$d=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{169}=13$

Odpowiedź

$13$

Wzór z dwiema krawędziami dałby przekątną ściany, nie całej bryły.

Typowe błędy

Użycie wzoru na przekątną ściany zamiast przekątnej bryły.
Zamiana wysokości stożka z tworzącą.
Mylenie jednostek kwadratowych i sześciennych.

Zapamiętaj

Zapisz nazwę odcinka oraz szukanej wielkości. To chroni przed zastosowaniem poprawnego wzoru do niewłaściwych danych.

Pytania i odpowiedzi

Czym różni się przekątna ściany sześcianu od przekątnej bryły?

Przekątna ściany ma długość a razy pierwiastek z 2, a przekątna bryły a razy pierwiastek z 3.

Czy wysokość i tworząca stożka są równe?

W nieosobliwym stożku prostym tworząca jest dłuższa od wysokości. Łączy je zależność l² = r² + h².

O materiale i źródłach

To autorskie przykłady i objaśnienia Streamory. Nie są zadaniami z konkretnego arkusza ani oficjalnym kluczem CKE.

Aktualny zakres i warunki egzaminu sprawdzaj w informatorach CKE. Streamora jest niezależną platformą do nauki.

Zauważoną niejasność możesz zgłosić na kontakt@streamora.pl, podając tytuł poradnika i numer przykładu.

Od czego zacząć

Najważniejsze zależności

Przykład 1

Rozpoznaj przekątną bryły

Policz pole ściany

Uwzględnij sześć ścian

Przykład 2

Wyznacz tworzącą

Dodaj pole podstawy i boczne

Oblicz objętość z wysokości

Spróbuj samodzielnie

Dodaj kwadraty trzech krawędzi

Typowe błędy

Zapamiętaj

Pytania i odpowiedzi

Czym różni się przekątna ściany sześcianu od przekątnej bryły?

Czy wysokość i tworząca stożka są równe?

O materiale i źródłach

Powiązane tematy

Planimetria — pola figur i dobór wysokości

Potęgi i pierwiastki — przykłady krok po kroku