STREAMORA

Matematyka · Matura podstawowa

Planimetria — pola figur i dobór wysokości

Pole trapezu, pole koła z obwodu i wysokość trójkąta równoramiennego. Przykłady z kontrolą jednostek i wyborem potrzebnych danych.

Autor: Zespół Streamora · Aktualizacja:

Od czego zacząć

W zadaniach o polach najpierw ustal, do której podstawy należy wysokość. Odcinek narysowany ukośnie nie staje się wysokością tylko dlatego, że znajduje się wewnątrz figury.

Jeśli polecenie nie podaje jednostek, wynik pozostaje liczbą w jednostkach kwadratowych. Gdy długości są w centymetrach, pole zapisujemy w centymetrach kwadratowych.

Najważniejsze zależności

  • Pole trapezu o podstawach a i b oraz wysokości h: P=(a+b)h/2P=(a+b)h/2.
  • Obwód okręgu: L=2πrL=2\pi r; pole koła: P=πr2P=\pi r^2.
  • Wysokość trójkąta równoramiennego opuszczona z wierzchołka między ramionami dzieli podstawę na połowy.

PRZYKŁAD 1

Przykład 1

Podstawy trapezu mają długości 8 i 14, a jego wysokość 5. Oblicz pole.

  1. Wybierz podstawy

    Podstawami są dwa równoległe boki podane w poleceniu.

    a+b=8+14=22a+b=8+14=22

  2. Użyj wysokości

    Wysokość jest prostopadłą odległością między podstawami.

    P=22⋅52P=\frac{22\cdot5}{2}

  3. Policz wynik

    Można najpierw podzielić 22 przez 2.

    P=11⋅5=55P=11\cdot5=55
Odpowiedź

5555

Średnia długość podstaw to 11. Pomnożenie jej przez wysokość daje pole.

PRZYKŁAD 2

Przykład 2

Obwód okręgu wynosi 10π10\pi cm. Oblicz pole koła.

  1. Wyznacz promień z obwodu

    Podstawiamy obwód do wzoru i dzielimy przez 2π.

    2πr=10π  ⟹  r=5 cm2\pi r=10\pi\implies r=5\text{ cm}

  2. Przejdź do pola

    Do wzoru na pole wstawiamy promień, nie średnicę.

    P=π⋅52P=\pi\cdot5^2

  3. Zapisz jednostkę

    Pole jest mierzone w centymetrach kwadratowych.

    P=25π cm2P=25\pi\text{ cm}^2
Odpowiedź

25π cm225\pi\text{ cm}^2

Wartość 10 cm jest średnicą tego koła; promień to 5 cm.

TWOJA PRÓBA

Spróbuj samodzielnie

Trójkąt równoramienny ma ramiona długości 5 i podstawę długości 6. Oblicz pole.

Zobacz rozwiązanie i sprawdź swoją próbę

  1. Wyznacz wysokość

    Połowa podstawy ma długość 3. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

    h=52−32=4h=\sqrt{5^2-3^2}=4

  2. Oblicz pole trójkąta

    Podstawa do tej wysokości ma długość 6.

    P=12⋅6⋅4=12P=\frac12\cdot6\cdot4=12
Odpowiedź

1212

Długość ramienia 5 nie jest wysokością. Trzeba ją najpierw obliczyć.

Typowe błędy

  • Podstawienie ramienia zamiast wysokości.
  • Użycie średnicy we wzorze wymagającym promienia.
  • Zapis pola w jednostkach długości.

Zapamiętaj

Nazwij figurę, dobierz wzór i sprawdź znaczenie każdej podstawianej długości.

Pytania i odpowiedzi

Czy ramię trapezu jest jego wysokością?

Tylko w szczególnej sytuacji, gdy jest prostopadłe do podstaw. Zwykle wysokość trzeba wskazać lub obliczyć osobno.

Czy obwód i pole mogą mieć tę samą jednostkę?

Obwód ma jednostkę długości, a pole jednostkę kwadratową. Nie są to te same wielkości.

O materiale i źródłach

To autorskie przykłady i objaśnienia Streamory. Nie są zadaniami z konkretnego arkusza ani oficjalnym kluczem CKE.

Aktualny zakres i warunki egzaminu sprawdzaj w informatorach CKE. Streamora jest niezależną platformą do nauki.

Zauważoną niejasność możesz zgłosić na kontakt@streamora.pl, podając tytuł poradnika i numer przykładu.

Powiązane tematy

Trygonometria — sinus, cosinus i pole trójkąta

Funkcje kąta ostrego, tożsamość trygonometryczna i pole z dwóch boków oraz kąta między nimi. Zadania z wyjaśnieniem wyboru wzoru.

Czytaj dalej →

Stereometria — sześcian, stożek i przekątna bryły

Przekątna sześcianu, pole i objętość stożka oraz przekątna prostopadłościanu. Zadania z rysunkiem wyobrażonym i kontrolą jednostek.

Czytaj dalej →