STREAMORA

Matematyka · Matura podstawowa

Trygonometria — sinus, cosinus i pole trójkąta

Funkcje kąta ostrego, tożsamość trygonometryczna i pole z dwóch boków oraz kąta między nimi. Zadania z wyjaśnieniem wyboru wzoru.

Autor: Zespół Streamora · Aktualizacja:

Od czego zacząć

Przy funkcjach trygonometrycznych najpierw zaznacz rozpatrywany kąt. Nazwy przyprostokątnych „naprzeciw” i „przy” zależą od tego kąta.

W przykładzie z odtwarzaniem cosinusa kąt jest ostry. Dzięki temu wybieramy dodatni pierwiastek.

Najważniejsze zależności

  • W trójkącie prostokątnym sinus to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej.
  • Dla każdego kąta zachodzi sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1; dla kąta ostrego obie wartości są dodatnie.
  • Pole z dwóch boków i kąta między nimi: P=12absin⁡γP=\frac12ab\sin\gamma.

PRZYKŁAD 1

Przykład 1

Kąt α jest ostry i sin⁡α=3/5\sin\alpha=3/5. Oblicz cos α i tg α.

  1. Użyj tożsamości

    Kwadrat cosinusa otrzymamy przez odjęcie kwadratu sinusa od 1.

    cos⁡2α=1−925=1625\cos^2\alpha=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}

  2. Wybierz właściwy znak

    Kąt ostry ma dodatni cosinus.

    cos⁡α=45\cos\alpha=\frac45

  3. Oblicz tangens

    Tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa.

    tg⁡α=3/54/5=34\operatorname{tg}\alpha=\frac{3/5}{4/5}=\frac34
Odpowiedź

cos⁡α=45,tg⁡α=34\cos\alpha=\frac45,\quad\operatorname{tg}\alpha=\frac34

Warunek kąta ostrego pozwala jednoznacznie wybrać dodatni cosinus.

PRZYKŁAD 2

Przykład 2

Dwa boki trójkąta mają długości 6 i 8, a kąt między nimi ma 30°. Oblicz pole.

  1. Sprawdź położenie kąta

    Podany kąt leży między dwoma znanymi bokami, więc pasuje wzór na pole z sinusem.

    P=12⋅6⋅8⋅sin⁡30∘P=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\sin30^\circ

  2. Wstaw wartość sinusa

    Sinus 30° wynosi 1/2.

    sin⁡30∘=12\sin30^\circ=\frac12

  3. Oblicz pole

    Wynik podajemy w jednostkach kwadratowych, jeśli jednostka długości została wskazana.

    P=12⋅48⋅12=12P=\frac12\cdot48\cdot\frac12=12
Odpowiedź

1212

W tym wzorze potrzebny jest kąt między znanymi bokami, a nie dowolny kąt trójkąta.

TWOJA PRÓBA

Spróbuj samodzielnie

Kąt α jest ostry i tg⁡α=5/12\operatorname{tg}\alpha=5/12. Oblicz sin α oraz cos α.

Zobacz rozwiązanie i sprawdź swoją próbę

  1. Zbuduj trójkąt proporcjonalny

    Możemy przyjąć przyprostokątne 5 i 12. Przeciwprostokątna ma wtedy długość 13.

    52+122=13\sqrt{5^2+12^2}=13

  2. Zapisz właściwe stosunki

    Bok naprzeciw kąta ma długość 5, a bok przy kącie długość 12.

    sin⁡α=513,cos⁡α=1213\sin\alpha=\frac5{13},\qquad\cos\alpha=\frac{12}{13}
Odpowiedź

sin⁡α=513,cos⁡α=1213\sin\alpha=\frac5{13},\quad\cos\alpha=\frac{12}{13}

Nie trzeba znać miary kąta, aby odtworzyć proporcje boków.

Typowe błędy

  • Zamiana boku naprzeciw kąta z bokiem leżącym przy nim.
  • Wybór znaku pierwiastka bez sprawdzenia danych o kącie.
  • Użycie wzoru na pole z kątem, który nie leży między podanymi bokami.

Zapamiętaj

Zaznacz kąt i znane boki, a dopiero potem wybierz stosunek lub wzór.

Pytania i odpowiedzi

Czy z samego sinusa zawsze odczytam znak cosinusa?

Nie. Potrzebna jest informacja o kącie lub jego położeniu. W zadaniu z kątem ostrym cosinus jest dodatni.

Czy do pola zawsze potrzebna jest wysokość?

Nie. Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi, możesz użyć połowy ich iloczynu pomnożonej przez sinus tego kąta.

O materiale i źródłach

To autorskie przykłady i objaśnienia Streamory. Nie są zadaniami z konkretnego arkusza ani oficjalnym kluczem CKE.

Aktualny zakres i warunki egzaminu sprawdzaj w informatorach CKE. Streamora jest niezależną platformą do nauki.

Zauważoną niejasność możesz zgłosić na kontakt@streamora.pl, podając tytuł poradnika i numer przykładu.

Powiązane tematy

Planimetria — pola figur i dobór wysokości

Pole trapezu, pole koła z obwodu i wysokość trójkąta równoramiennego. Przykłady z kontrolą jednostek i wyborem potrzebnych danych.

Czytaj dalej →

Stereometria — sześcian, stożek i przekątna bryły

Przekątna sześcianu, pole i objętość stożka oraz przekątna prostopadłościanu. Zadania z rysunkiem wyobrażonym i kontrolą jednostek.

Czytaj dalej →