STREAMORAMatematyka · Matura podstawowa
Prawdopodobieństwo — kostki i losowanie bez zwracania
Liczenie jednakowo prawdopodobnych wyników, suma oczek na kostkach i losowanie kul bez zwracania. Przykłady i błędy w doborze modelu.
Od czego zacząć
Zanim policzysz prawdopodobieństwo jako iloraz liczby wyników, upewnij się, że przyjęte wyniki elementarne są jednakowo prawdopodobne.
W losowaniu bez zwracania sytuacja zmienia się po pierwszym losie. Drugiego prawdopodobieństwa nie przepisujemy bez sprawdzenia liczby pozostałych elementów.
Najważniejsze zależności
- W modelu klasycznym , jeśli wszystkie wyniki elementarne są jednakowo prawdopodobne.
- Dwie uczciwe, niezależne kostki mają 36 jednakowo prawdopodobnych uporządkowanych par wyników.
- Przy losowaniu bez zwracania zmniejsza się liczba dostępnych elementów.
PRZYKŁAD 1
Przykład 1
Rzucamy dwiema uczciwymi, niezależnymi sześciennymi kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo sumy oczek równej 9?
Zapisz przestrzeń wyników
Rozróżniamy wyniki pierwszej i drugiej kostki, więc jest 6 · 6 par.
Wypisz pary korzystne
Suma 9 występuje dla czterech par.
Podziel liczby wyników
Skracamy ułamek 4/36.
Sumy od 2 do 12 nie są jednakowo prawdopodobne, więc nie można traktować ich jak 11 równych możliwości.
PRZYKŁAD 2
Przykład 2
W urnie są 4 kule czerwone i 3 niebieskie. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo dwóch czerwonych.
Policz pierwszy los
Pierwsza czerwona kula może zostać wylosowana spośród 4 na 7.
Uwzględnij brak zwrotu
Po czerwonej kuli zostają 3 czerwone kule i łącznie 6 kul.
Pomnóż prawdopodobieństwa
Obie czerwone kule muszą pojawić się w tej samej próbie.
Drugie prawdopodobieństwo zależy od wyniku pierwszego losowania. Nie zakładamy niezależności.
TWOJA PRÓBA
Spróbuj samodzielnie
Losujemy jedną liczbę spośród 1, 2, 3, 4, 5, 6, każdą z takim samym prawdopodobieństwem. Oblicz szansę otrzymania liczby podzielnej przez 2 lub przez 3.
Zobacz rozwiązanie i sprawdź swoją próbę
Zbuduj zbiór bez powtórzeń
Korzystne liczby to 2, 3, 4 i 6. Liczba 6 spełnia oba warunki, lecz liczymy ją raz.
Słowo „lub” dopuszcza spełnienie obu warunków. Nie dodajemy liczby 6 dwukrotnie.
Typowe błędy
- Przyjęcie różnych sum oczek jako jednakowo prawdopodobnych.
- Zachowanie 7 kul w mianowniku drugiego losowania bez zwracania.
- Dwukrotne zliczanie wspólnych wyników przy słowie „lub”.
Zapamiętaj
Dobry model i poprawne policzenie wyników są ważniejsze niż samo podstawienie do ułamka.
Pytania i odpowiedzi
Czy wzór liczba korzystnych przez wszystkie działa zawsze?
W tej postaci wymaga jednakowo prawdopodobnych wyników elementarnych. Bez tego założenia samo zliczanie może dać błędny wynik.
Czy losowanie bez zwracania jest niezależne?
Na ogół nie. Pierwszy wynik zmienia skład zbioru, z którego wykonujemy drugi los.
O materiale i źródłach
To autorskie przykłady i objaśnienia Streamory. Nie są zadaniami z konkretnego arkusza ani oficjalnym kluczem CKE.
Aktualny zakres i warunki egzaminu sprawdzaj w informatorach CKE. Streamora jest niezależną platformą do nauki.
Zauważoną niejasność możesz zgłosić na kontakt@streamora.pl, podając tytuł poradnika i numer przykładu.